分数布朗运动及其在保险金融中的应用

基本信息

副题名

外文题名

论文作者

张骅月著

导师

郭军义指导

学科专业

概率论与数理统计

学位级别

博士论文

学位授予单位

南开大学

学位授予时间

2007

关键词

布朗运动 随机分析 风险分析 金融 保险

馆藏号

F224.7

馆藏目录

2009\F224.7\4

中文摘要

自19世纪60年代，Mandelbrot使科学界注意"长程相关性"以来，这个概念变得越来越重要。如今，具有长程相关性的随机模型已经激发了人们很大的研究兴趣，并且被成功地应用到不同领域。例如，在排队系统，流体模型，通信网络模型，交通模型，储存模型和金融。参阅[21]，[41]，[62]，[68]，[80]，[81]，[82]， [96]，[102]和[106]。 分数布朗运动是一个常被使用的具有长程相关性的过程。关于分数布朗运动的研究最早可追溯到Kolmogorov[58]，并命名为Wiener螺线。Mandelbrot和Van Ness在一篇开创性的论文[69]中首次提出了"分数布朗运动"这一名字。关于分数布朗运动的详细介绍，参阅[30]或[94]。 分数布朗运动作为一种模拟工具有时比标准布朗运动更加灵活。它被用来模拟工程学，物理学和金融数学中的各式各样的随机数据。本文我们集中考虑它在保险金融中的应用。 最近几年保险金融正在蓬勃发展并且取得想当丰硕的成果。集体风险理论所关心的是保险公司的总资产和风险余额的随机波动。对于古典风险模型，索赔过程是用一个具有空间齐次性和独立增量性的复合泊松过程来描述的。根据过程的弱收敛，[52]用带漂移的布朗运动来近似风险过程。在风险理论中，一个扩散近似的现代版本被[34]和[35]给出。由于它们比较完美的性质，几乎所有的精算变量包括破产时间、破产前余额、破产时赤字的精确结果都已经被得到。近来，两个风险模型下的一些最优问题包括再保险、投资和分红被关注，并且部分已得到解决。 迄今，人们一直用具有马尔科夫性的随机过程来描述索赔过程。但在大部分情形下，保险公司的索赔过程呈现出长程相依性:给定时刻t后过程的行为，不仅依赖于t时刻的信息，而且还依赖于时刻t以前的历史。这种现象是不容忽视的并且很可能对不同的问题产生影响，例如偿付能力，定价及最优再保险水平等等。因此，最近分数布朗运动被用来模拟保险公司可能面临的索赔，(参阅[3]， [20]，[32]，[33]，[75]和[76])。 在几何布朗运动的框架下，Black和Scholes建立了著名的期权定价理论。然而，古典金融资产的数学模型仍不完善。两个明显的问题存在于Black-Scholes公式中，即金融资产的价格过程不总是高斯和马尔科夫的。为了更好地描述金融资产的价格，人们引入了更一般的模型，例如重尾Levy过程和随机波动率模型。后来，通过重标极差法(R/S)，研究人员发现证券市场的波动有明显的持久性，然后他们试着用分数布朗运动模拟股价和其他资产价格，参阅[36]，[37]和[70]。 研究包括分数布朗运动的随机微分方程所描述的系统是很自然的。在此体系下，一些标准问题，例如预报、参数估计和滤波已经得到了很好的解决，参考[12]， [14]，[38]，[54]，[55]，[56]，[60]，[78]和[86]。保险和金融中的优化问题已经吸引了人们很大的兴趣。然而，大部分的结果是在马尔科夫控制系统下得到的。所以，在更广的环境下研究最优控制问题有其理论和实际价值。最近人们开始注意到分数布朗运动扰动的系统下的最优控制间题。例如，[23]尝试着去解一般的最优间题。[46]和[47]莫定了分数布朗运动市场上最优理论和最优消耗的基础。[49]研究了stop-loss-start-gain投资组合并且给出了标准期权定价的内在价值和时间价值的Carr-Jarrow分解。 另一方面，线性二次规划是一个典型而且重要的随机控制类，它可以被解决通过一个相关的黎卡提方程。就我们知道的，[57]得到一个有限时间区间上简单线性二次规划的完备解。[51]考虑了分数布朗运动所扰动下随机线性系统的一些最优控制间题。尽管如此，LQ问题仍没有被完全展示。所以，我的博士毕业论文主要致力于分数布朗运动扰动体系下，保险金融中LQ间题的进一步研究。 但是，对于分数布朗运动随机控制间题的研究，不可避免地要涉及到关于它的随机微分，相关的随机积分和微分方程。因为分数布朗运动不是半鞅，极其丰富的半鞅随机积分理论不能直接应用。下面，我们使用最近在[26]中定义地关于分数布朗运动的随机微分。另外，由于分数布朗运动的非马氏性，著名的Hamilton-Jacobi-Bellman方程不能被应用但是我们可以采用鞅方法和完全平方的方法去解决相应的控制问题。 本篇论文的结构和内容安排如下: 第一章，我们介绍了分数布朗运动的定义、性质及其关于分数布朗运动随机积分理论的主要结果。 第二章，我们主要研究了分数布朗运动扰动下的古典风险过程的最优输入间题。通过完全平方的办法，最优控制策略的分析解被得到。另外，我们还得到相应的最优值函数。 第三章，我们在带漂移分数布朗运动的风险模型下，考虑了保险公司的最优输入和投资问题。我们给出了最优策略存在的充分条件。借助于两种不同的办法，最优策略的解被给出。另外，我们导出了相应的最优值函数。最后，两种特殊的情况被考虑。 第四章，在风险需求和投资两种控制下，我们研究了动态均值-方差问题。基于HJB方程的粘性解和拉格朗日乘子技术，我们给出了古典的Cramér-Lundberg模型和扩散模型下有效前沿和有效策略的闭形式的解。 第五章，我们研究了动态均值-方差投资组合选择问题，其中风险过程是被分数布朗运动扰动的古典风险过程。有效前沿和相应的有效策略也被得到，并且与标准布朗运动情况下的结果进行了比较。 第六章，我们考虑了在分数Black-Scholes市场上，动态连续时间的均值-方差投资组合选择问题。有效前沿和相应的有效策略也被导出。我们展现了在分数布朗运动的均值-标准差图上有效前沿仍然是一条直线。最后，我们在数值上比较了最优终端财富的期望，方差分别与Hurst参数，初始资本和无风险利率之间的关系。 第七章，当保费收入为时间的非线性函数时，我们给出了有限时间破产概率的上下界和无穷时间破产概率的显式解。 需要指明，参考文献末尾列举了郭军义教授和吴荣教授最近的一些工作。 关键词:分数布朗运动 长程相关 风险控制 古典风险模型 均值-方差投资组合 随机积分 有效前沿 完全平方办法 随机最大值原则 Hamilton-Jacobi-Bellman方程 半鞅 正倒向随机微分方程 线性二次规划 Malliavin导数 Clark-Haussmann-Ocone定理 破产概率 学科分类号:93E20，60G15，60H07